梅森素数是什么？它到底有什么用？

    众所周知，素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数。2300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中用反证法证明了素数有无穷多个，如2、3、5、7、11等等。在素数的探究中，人们发现少量的素数可表示为2^P-1（指数P为素数）的形式，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127、2^13-1=8191等。

    2^P-1型素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的数学爱好者对它进行探究，其中17 世纪法国数学家马林·梅森是他们中最杰出的探究者。由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2^P-1型素数；为了纪念他，数学界在1897年举行的第一届国际数学家大会上将这种特殊形式的素数命名为“梅森素数”。

    梅森素数貌似简单,但探究难度却很大；当指数P值较大时，不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。而计算机的产生加速了梅森素数探究进程；例如，美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机，在1952年就找到了5个梅森素数：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。

    网格技术的出现使梅森素数探究如虎添翼。1996年，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用；这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目。目前，世界上有近200个国家和地区超过24万人参加GIMPS项目，并动用了超过243万核中央处理器（CPU）联网来寻找梅森素数。可见，梅森素数的探究非常火爆——这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。

    为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，国际电子前沿基金会于1999年向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的奖金。迄今为止，人类仅发现51个梅森素数。第51个梅森素数是2^82589933-1，它是由美国互联网专家、数学爱好者帕特里克·拉罗什利用GIMPS项目发现的；这一素数有24862048位，它是当今人类发现的最大素数。如果用普通字号将这个梅森素数打印下来，其长度将超过100公里！

    特别值得一提的是，在梅森素数的重要性质——分布规律的研究方面，中国数学家、语言学家周海中经过长期而艰辛的探究，于1992年给出了梅森素数分布的精确表达式；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为，周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。法籍华人数学家李明达也认为，周氏猜测是梅森素数研究中的一项重大突破。

    梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它的探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。顺带一提，近百年来，人们发现的“最大素数”几乎都是梅森素数。此外，梅森素数常用来测试计算机硬件运算是否正确。例如，德国一名GIMPS项目参与者在不久前发现：当Intel Skylake处理器在执行Prime95应用来搜索梅森素数时，运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的故障。

    由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为，梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者马科斯·索托伊甚至认为，梅森素数探究可以挑战人类科技与智慧极限，其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。

    文/胡兰婷（作者单位：山东大学数学学院）